Le projet d'une boîte de chocolats

Vous êtes designer auprès d'une entreprise qui produit des boîtes de chocolats.
On vous confie la mission de concevoir un nouveau modèle de boîte d'un volume de
\(250\) cm\(^3\). Pour la concevoir, vous modélisez d'abord la boîte comme un pavé droit.

Le constructeur vous donne la contrainte suivante : le patron de la boîte est à dessiner à partir d'un carré de \(20\) cm de côté.
Voici une proposition de patron et un fichier de géométrie dynamique permettant de le visualiser en fonction de la valeur de \(x\) correspondant à la hauteur, en centimètres, de la boîte, \(x\) étant compris entre \(0\) et \(10\).

1. Calculer le volume de la boîte lorsque `x` vaut 1 cm.
2. Expliquer pourquoi le volume `V` de la boîte s'exprime en fonction de `x` par `V(x)=x(20-2x)(10-x)`.
3. Montrer que le volume de la boîte s'exprime en fonction de `x` par `V(x)=2x^3-40x^2+200x`.
4. Montrer que, pour obtenir un volume de `250` cm\(^3\), \(x\) doit être solution de l'équation suivante :
  \(2x^3-40x^2+200x-250=0\).
5. Vérifier que \(x=5\) est solution de l'équation.
6. En utilisant la calculatrice ou un logiciel de géométrie dynamique, déterminer s'il y a d'autres valeurs de \(x\) qui répondent au problème donné.